平面点集的极值与周期 $L_2$ 偏差
数论
2021-09-14 v2
摘要
本文研究平面点集的极值与周期 偏差。极值偏差以任意矩形为测试集，而周期偏差使用“周期区间”，可视为环面上的区间。周期 偏差除一乘性因子外亦称为 diaphony。主要结果给出了 Hammersley 点集与有理格点上这些偏差的精确公式。为评估所得结果，我们还证明了任意维数 下任意点集极值 偏差的一般下界，其量级为 ，分别与标准及周期 偏差类似。我们的结果证实 Hammersley 点集的极值与周期 偏差具有最佳可能的渐近量级，这与 Hammersley 点集的标准 偏差形成对比。此外，我们的精确公式表明 Fibonacci 格点的 偏差亦为最优量级。我们还证明了极值 偏差总被标准 偏差所控制，这一结果已由 Morokoff 与 Caflisch 在 1994 年引入极值 偏差概念时所猜想。
引用
@article{arxiv.2005.09933,
title = {Extreme and periodic $L_2$ discrepancy of plane point sets},
author = {Aicke Hinrichs and Ralph Kritzinger and Friedrich Pillichshammer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.09933},
year = {2021}
}