有限域 $\mathbb{F}_2$ 上高阶数字序列的最优 $\mathcal{L}_2$ 偏差界

我们证明了在 [J. Dick, Walsh spaces containing smooth functions and quasi-Monte Carlo rules of arbitrary high order. SIAM J. Numer. Anal., {\bf 46}, 1519--1553, 2008] 中引入的在 $\mathbb{F}_2$ 上 $[0,1)^s$ 中显式构造的无限点序列 $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,...)$ 的 $\mathcal{L}_2$ 偏差满足 $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{s/2} \quad {for all} N \ge 2,$$ 以及 $$\mathcal{L}_{2,2^m}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{2^m-1}\}) \le C_s 2^{-m} m^{(s-1)/2} \quad {for all} m \ge 1,$$ 其中 $C_s > 0$ 是一个独立于 $N$ 和 $m$ 的常数。根据 [P.D. Proinov, On the $L^2$ discrepancy of some infinite sequences. Serdica, {\bf 11}, 3--12, 1985] 和 [K. F. Roth, On irregularities of distribution. Mathematika, {\bf 1}, 73--79, 1954] 中的下界，这些结果是最优的。此外，对于每个 $N \ge 2$，我们显式构造了 $[0,1)^s$ 中的有限点集 $\{\boldsymbol{y}_0,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}$，使得 $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{y}_0,\boldsymbol{y}_1,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{(s-1)/2}.$$ 另一种通过不同构造得到的有限点集解法此前已在 [W. W. L. Chen and M. M. Skriganov, Explicit constructions in the classical mean squares problem in irregularity of point distribution. J. Reine Angew. Math., {\bf 545}, 67--95, 2002] 中展示。