无限维高阶数字序列的最优阶求积误差界

使用高阶数字网和序列的准蒙特卡洛(Quasi-Monte Carlo, QMC)求积规则已被证明在任意固定光滑度 $\alpha\in \mathbb{N}$, $\alpha\geq 2$ 的索伯列夫空间中最坏情况误差达到几乎最优收敛速率。在作者最近论文中，证明了素数基 $b$ 下随机数字位移的 $2\alpha$ 阶数字网实现均方根最坏情况误差的最优可能收敛速率 $N^{-\alpha}(\log N)^{(s-1)/2}$（其中 $N=b^m$），$N$ 和 $s$ 分别指点数量和维度，这意味着存在最优阶QMC规则。更近，作者通过使用Chen-Skriganov数字网结合Dick的数字交织组合，给出了这种最优阶QMC规则的显式构造。这些结果针对固定点数。本文给出任意固定光滑度 $\alpha\in \mathbb{N}$ 包括端点情况 $\alpha=1$ 的最优阶QMC规则显式构造的更一般结果。即，我们证明素数基 $b$ 下任意无限维 $2\alpha +1$ 阶数字序列到前 $s$ 个坐标的投影实现最坏情况误差的最优可能收敛速率 $N^{-\alpha}(\log N)^{(s-1)/2}$（$N=b^m$）。本文给出的显式构造不仅易于实现，而且在 $N$ 和 $s$ 上可扩展。