用于多元周期函数数值积分的2阶数字网上的最优拟蒙特卡洛法则

我们研究用于数值积分具有主导混合光滑度 $1/p<r<2$ 的Besov空间 $S^r_{p,q}B(\mathbb{T}^d)$ 中多元周期函数的拟蒙特卡洛法则。我们证明2阶数字网实现了最优收敛率 $N^{-r} (\log N)^{(d-1)(1-1/q)}$。该对数项不依赖于 $r$,从而改进了J. Dick针对Sobolev空间 $H^r_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$ 特殊情形给出的已知界。其次,收敛率独立于Besov空间的可积性 $p$,这允许以牺牲可积性来换取Besov正则性。我们的方法将具有主导混合光滑度的周期Besov空间通过Faber基的刻画与高阶数字网偏差函数的Haar系数的尖锐估计相结合。此外,我们提供了数值计算,表明该界在 $r=2$ 的情形也成立。