经 tent 变换后的二次序网格与二次误差衰减的准蒙特卡罗规则

我们研究了使用二次序数字网格进行非周期函数在立方体上的准蒙特卡罗求积，该类函数具有有界的混合二阶导数。通过采用所谓的tent 变换及其映射性质，我们继承了周期情形下的误差界。我们的分析基于函数具有有界混合二阶弱导数的多变量Faber-Schauder系数的衰减性质。正如Hinrichs、Markhasin、Oettershagen、T. Ullrich（Numerische Mathematik 2016）已经观察到的，二次序网格在张量化（周期）Faber样条函数上表现尤为出色。由此我们也获得了在非周期情形下，经tent变换后的二次序网格具有二次误差衰减率。这一改进了该类点集合以往最佳界限的因子为$\log N$。我们通过数值实验予以支撑，甚至建议二次序网格的界限可以进一步提高。这尤其表明，较低复杂度的点集（相对于之前考虑的构造）即可为具有二阶混合光滑性函数的求积提供（近似）最优的误差衰减率。