基于QMC积分的任意(t,m,s)-网生成在多个函数空间中的最优收敛率

我们研究了在四种Banach空间上的积分问题。首先我们考虑Haar小波空间，由其Haar小波系数呈特定衰减行为（由参数$\alpha >0$测量）构成的函数组成。我们研究了在范数单位球上的积分最坏情况误差，并为基于任意$(t,m,s)$-网的准Monte Carlo(QMC)积分规则提供上界误差，同时为任意积分规则提供匹配的下界误差。这些结果表明，使用任意$(t,m,s)$-网作为样本点可实现最佳可能的收敛率。随后我们研究具有分数光滑性$\alpha \in (0,1)$的函数空间，提出尖锐的Koksma-Hlawka型不等式。更准确地，我们表明，在这些函数空间中，积分的最坏情况误差等于相应的分数误差。这类函数空间可连续嵌入到张量积Bessel势空间，即支配混合光滑性的Sobolev空间，参数相同。后者可嵌入到支配混合光滑性$\alpha$的Besov空间，后者可嵌入到Haar小波空间，参数相同。因此，我们对基于$(t,m,s)$-网的QMC积分在Haar小波空间上的上界误差可传递（可能具有不同的常数）到具有分数光滑性、支配混合光滑性的Sobolev和Besov空间。此外，已知的周期Sobolev和Besov空间支配混合光滑性的下界误差表明，基于任意$(t,m,s)$-网的QMC积分在周期以及非周期Sobolev和Besov空间中实现最佳可能的收敛率。