混合光滑度多元函数积分误差的下界与正方形区域函数的最优 Fibonacci 求积

我们证明了对于来自混合光滑度 Besov 空间 $B^{\alpha}_{p,\theta}({\mathbb G}^d)$ 的 $d$ 元函数，在 $0 < p, \theta \le \infty$ 且 $\alpha > 1/p$ 的情况下，最优求积公式误差的下界，其中 ${\mathbb G}^d$ 要么是 $d$ 维环面 ${\mathbb T}^d$，要么是 $d$ 维单位立方体 ${\mathbb I}^d$。我们证明了对于来自 $B^{\alpha}_{p,\theta}({\mathbb T}^2)$ 的二元周期函数，在 $1\leq p \le \infty$，$0 < \theta \le \infty$，$\alpha>1/p$ 的情况下，基于 Fibonacci 格点的 QMC 积分方法的上界。对该经典公式的非周期修正给出了 $B^{\alpha}_{p,\theta}({\mathbb I}^2)$ 的上界（若 $1/p<\alpha<1+1/p$）。综合这些结果，得出了来自 $B^{\alpha}_{p,\theta}({\mathbb G}^2)$ 的函数最优求积公式的正确渐近误差，并表明相应结果在 $d>2$ 的情况下也很可能成立。将其与 Smolyak 网格上最优求积公式的正确渐近性进行比较，得出的观察结果是：在一般设定下，Smolyak 网格上的任何求积公式都不是最优的。