混合光滑度空间中的变量代换与单位立方体上多元函数的数值积分

在本文两位作者近期的一篇文章中，结果表明对于具有主导混合光滑度的函数的各种设置（Besov-Triebel-Lizorkin 空间），Frolov 求积公式是最优且通用的。这些求积公式与支集在单位立方体 $[0,1]^d$ 内的函数相吻合。由此产生了对具有非平凡边界数据（特别是非周期函数）的多元函数进行最优数值积分的问题。在本文中，我们给出了一般性结果：在上述空间中，最小最差情形积分误差的渐近速率不受边界条件的影响。事实上，我们提出了两种 Frolov 求积公式的定制修改方案，适用于支集在立方体上（而非立方体内）的函数，它们在相差一个常数因子的意义下提供相同的最小最差情形误差。该常数分别涉及所关注函数空间之间“变量代换”映射与“逐点乘法”映射的范数。实际上，我们补充、扩展并改进了 Bykovskii、Dubinin 和 Temlyakov 关于混合光滑度 Besov-Sobolev 空间中变量代换映射有界性的经典结果。我们的证明技术依赖于通过混合差分的积分均值与极大函数技术的新刻画，该刻画足够一般，能够同时处理 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间。第二种修改方案仅处理周期函数的情形，基于逐点乘法，因此很可能比（传统的）“变量代换”方法更适用于实际应用。这些新的理论见解预期将有助于为立方体上的多元函数设计新的（且稳健的）求积规则。