立方体上的高效多元逼近

我们将针对加权 $L_{2}$ 被积函数的周期化策略与高效逼近方法相结合，以逼近高维立方体 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]^{d}$ 上的多元非周期函数。我们的方法允许确定 $d$ 元环面到立方体的变换 ${\psi:\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]^{d}\to\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]^{d}}$ 所需满足的条件，使得在应用 $\psi$ 时，非周期函数被变换为 Sobolev 空间 $\mathcal H^{m}(\mathbb{T}^{d})$ 中的光滑函数。我们改编了针对单秩-$1$ 格点逼近方法的 $L_{\infty}(\mathbb{T}^{d})$ 与 $L_{2}(\mathbb{T}^{d})$ 逼近误差估计，并调整了环面上多元三角多项式的快速求值与快速重构算法，以便将这些方法应用于非周期情形。我们通过至多 $d=5$ 维的数值试验说明了理论发现。