基于秩-1 格点的稀疏傅里叶变换用于多变量函数的快速低内存逼近

我们考虑在 $d$ 维环面 $f: \mathbb{ T }^d \rightarrow \mathbb{C}$ 上逼近函数的快速、可证准确的算法，这些函数在傅里叶基下是稀疏（或可压缩）的。特别地，设 $f$ 的傅里叶系数 $\{c_{\bf k} (f) \}_{{\bf k} \in \mathbb{Z}^d}$ 集中于有限集 $I \subset \mathbb{Z}^d$，使得对 $s \ll |I|$ 与 $\epsilon \in (0,1)$ 有 $$\min_{\Omega \subset I s.t. |\Omega| =s } \left\| f - \sum_{{\bf k} \in \Omega} c_{\bf k} (f) e^{ -2 \pi i {\bf k} \cdot \circ} \right\|_2 < \epsilon \|f \|_2$$ 成立。我们旨在识别近极小子集 $\Omega \subset I$ 并尽可能快地准确逼近相应傅里叶系数 $\{ c_{\bf k} (f) \}_{{\bf k} \in \Omega}$。我们分别给出确定性与随机化算法，使用 $O(s^2 d \log^c (|I|))$ 时间与内存、以及 $O(s d \log^c (|I|))$ 时间与内存。最关键的是，本文提出的所有方法在满足理论最佳 $s$ 项逼近保证的同时达到这些运行时间，该保证对一般函数确保其数值精度与对噪声的鲁棒性。这是通过修改若干一维稀疏傅里叶变换（SFT）方法，对给定频率集 $I$ 的重构秩-1 格点上的函数进行子采样，以快速识别近极小子集 $\Omega \subset I$ 而实现的，且除生成向量外不利用格点的任何性质。这需要新的快速低内存频率识别技术，能够由单变量情形下简单整数频率快速恢复 $\mathbb{Z}^d$ 中的向量值频率。我们提出并分析了两种不同策略，各自具有不同的精度对计算速度与内存的权衡。