基于变量替换的高效加权积分

本文研究利用特殊的变量替换来近似无界域 $\mathbb{R}_+^d$ 或 $\mathbb{R}^d$ 上 $d$ 维 $\rho$-加权积分，从而可将拟蒙特卡洛(QMC)或稀疏网格法则应用于单位立方体上变换后的被积函数。我们考虑一类具有一阶混合偏导数 $L_p$ 范数有界的被积函数，其中 $p\in[1,+\infty]$。主要结果给出了变量替换 $\nu$ 的充分条件，以保证变换后的被积函数属于单位立方体上混合光滑度为1的标准Sobolev空间。这些条件依赖于 $\rho$ 和 $p$。所提出的变量替换通常不同于基于累积分布函数之逆的标准替换。我们强调，标准变量替换虽将积分域变为立方体，但所得被积函数具有奇异性，使QMC与稀疏网格的应用失效。我们的结论得到数值实验的支持。