Sobolev 空间非周期子空间中的格规则

我们研究基于秩-1 格点集在加权非周期 Sobolev 空间 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{sob}})$ 及其高阶光滑度 $\alpha>1$ 的子空间上、关于 $s$ 维单位立方体的拟蒙特卡洛（QMC）积分，其中 $\boldsymbol{\gamma}$ 表示一组权值。Dick、Nuyens 与 Pillichshammer 近期的一篇论文研究了半周期余弦空间（光滑度参数 $\alpha>1/2$，由非周期光滑函数构成，记为 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{cos}})$）中的 QMC 积分，以及半周期余弦空间与 Korobov 空间在公共参数 $\alpha$ 下的和空间（记为 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{kor}+\mathrm{cos}})$）中的 QMC 积分。受其中结果的启发，我们首先研究这些函数空间上的嵌入与范数等价性。特别地，对整数 $\alpha$，我们给出其在 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{sob}})$ 中相应的范数等价子空间。这意味着当 $\alpha \geq 2$ 时，$\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{kor}+\mathrm{cos}})$ 作为集合严格小于 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{sob}})$，从而解决了 Dick、Nuyens 与 Pillichshammer 提出的一个公开问题。随后我们研究帐篷变换格规则在 $\mathcal{H}(K_{2,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{sob}})$ 中的最坏情形误差，以及对称化格规则在 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{kor}+\mathrm{cos}})$ 与 $\mathcal{H}(K_{\alpha,\boldsymbol{\gamma},s}^{\mathrm{sob}})$ 之间中间空间中的最坏情形误差。我们证明两种情形均可达到近乎最优的收敛速率，而前一种情形的最坏情形误差界可获得对维数的弱依赖。