$\log$-Korobov 空间与$\log$-余弦空间中的数值积分

QMC 规则是用于近似$[0,1]^s$上积分的等权求积规则。一条研究路线探讨了所谓 Korobov 空间单位球中函数的积分误差，这些空间是$[0,1]^s$上具有$\alpha$阶平方可积偏混合导数的周期函数的 Hilbert 空间。利用 Parseval 恒等式，这种光滑性可以对所有实数$\alpha > 1/2$进行定义。此条件是必要的，否则 Korobov 空间将包含不连续函数，使得函数评估无法良好定义。本文关注的是使用 QMC 规则对$\alpha$任意接近$1/2$的 Korobov 空间进行更精确的积分误差端点估计。为了获得此类估计，我们引入了一个针对光滑度接近$1/2$的函数的$\log$尺度，称之为$\log$-Korobov 空间。我们证明了格点规则可用于获得阶为$\mathcal{O}(N^{-1/2} (\log N)^{-\mu(1-\lambda)/2})$的积分误差，其中$1/\mu <\lambda \le 1$，且$\mu>1$是$\log$尺度中的幂次。我们还考虑了具有乘积权重$(\gamma_j)_{j \in \mathbb{N}}$的加权 Korobov 空间数值积分的可处理性。已知若对于某个$1/(2\alpha) < \tau \le 1$有$\sum_{j=1}^\infty \gamma_j^\tau < \infty$，则可获得与维数无关的误差界。在本文中，我们对$\tau$接近$1/(2 \alpha)$的情况给出了更精细的估计，即我们证明了在条件$\sum_{j=1}^\infty \gamma_j \max\{1, \log \gamma_j^{-1}\}^{\mu(1-\lambda)} < \infty$（对于某个$1/\mu < \lambda \le 1$）下，存在与维数无关的误差界。我们分析中的基本工具是$\log$尺度 Jensen 不等式。上述结果也适用于使用帐篷变换格点规则在$\log$-余弦空间中的积分。