置换不变函数空间中多元积分的秩 -1 格规则：误差界与可处理性

我们研究了对其自变量（子集）的置换具有不变性的函数的多元积分。我们找到了第 $n$ 个最小最坏情况误差的上界，并表明在某些条件下，该上界可以与维度数量无关。特别是，我们研究了在此类问题设置中应用无偏移和随机偏移的秩 -1 格规则。我们推导了多元积分具有多项式可处理性或强多项式可处理性且收敛率为蒙特卡洛速率 $O(n^{-1/2})$ 的条件。此外，我们证明了这些可处理性结果可以通过偏移格规则实现，且偏移确实是必要的。最后，我们证明了存在秩 -1 格规则，其在置换和偏移不变空间上的最坏情况误差以（几乎）最优速率收敛。也就是说，我们推导了形式为 $O(n^{-\lambda/2})$ 的误差界，适用于所有 $1 \leq \lambda < 2 \alpha$，其中 $\alpha$ 表示空间的平滑度。