QMC 设计：球面上的最优阶准蒙特卡洛积分方案

我们研究了定义在 $R^{d+1}$ 中单位球面 $S^d$ 上的 Sobolev 空间 $H^s(S^d)$（光滑度参数 $s>d/2$）中函数的等权重数值积分或准蒙特卡洛 (QMC) 规则。专注于实现最优阶 QMC 误差界的 $N$ 点集（如同高效球面设计的情况），我们引入了 QMC 设计的概念：这些是 $S^d$ 上的 $N$ 点节点集序列 $X_N$，使得相应 QMC 规则的最坏情况误差满足 $O(N^{-s/d})$ 阶的界（当 $N\to\infty$ 时），其隐含常数依赖于 $H^s(S^d)$-范数。我们提供了生成和数值测试 QMC 设计的方法。作为 Bondarenko 等人关于具有适当点数的球面设计存在性的最近结果的一个推论，我们证明了对于 $H^s(S^d)$ ($s>d/2$) 的再生核，$N$ 点能量的极小值构成了 $H^s(S^d)$ 的 QMC 设计序列。此外，在不依赖 Bondarenko 等人结果的情况下，我们证明了最大化点对之间欧几里得距离的适当幂次之和的点集构成了 $H^s(S^d)$ ($s\in(d/2,d/2+1)$) 的 QMC 设计序列。数值实验表明，球面上许多熟悉的点集序列（等面积、螺旋、最小 [库仑或对数] 能量以及 Fekete 点）对于适当的 $s$ 值是 QMC 设计。为了比较，我们表明在球面上独立且均匀分布的随机点集对于任何 $s>d/2$ 都不构成 QMC 设计。如果 $(X_N)$ 是 $H^s(S^d)$ 的 QMC 设计序列，我们证明它也是所有 $s'\in(d/2,s)$ 的 $\mathbb{H}^{s'}(S^d)$ 的 QMC 设计序列。这引出了确定此类 $s$ 的上确界的问题，为此我们基于上述序列的计算提供了估计。