$d$-环面上混合阶 Sobolev 函数的逼近——渐近性、前渐近性与 $d$-依赖性

我们研究了 $d$-维环面上具有主导混合（分数）光滑度 $s>0$ 的 Sobolev 空间中 $d$-变量周期函数的逼近，其中逼近误差在 $L_2-$范数中度量。换句话说，我们研究了 Sobolev 嵌入 $H^s_{\rm mix}(\mathbb{T}^d)\hookrightarrow L_2(\mathbb{T}^d)$ 的逼近数，特别强调对维数 $d$ 的依赖性。对于任意固定的光滑度 $s>0$，我们发现了当 $d\to\infty$ 时常数的精确渐近行为。我们观察到，如果 $n$（即 $f$ 的线性采样数）很大，常数在 $d$ 中呈现超指数衰减。此外，受数值实现问题的启发，我们还关注通过低秩逼近可实现的误差衰减。我们展示了所谓“前渐近”衰减的一些惊人结果，并指出了与最近引入的逼近问题拟多项式易处理性概念的联系。