高斯Sobolev空间嵌入的宽度

本文研究光滑度$s > 0$的高斯Sobolev空间$W^s_p(\mathbb{R}^d, \gamma)$中函数的逼近问题，其中逼近误差在高斯Lebesgue空间$L_q(\mathbb{R}^d, \gamma)$中度量。这类函数空间自然出现在带高斯测度的高维问题分析中，并在不确定性量化和随机建模等多种应用中发挥重要作用。我们的主要目标是分析表征逼近问题复杂性的基本量的渐近行为。具体而言，我们确定了若干类宽度的精确渐近阶，包括Kolmogorov宽度、线性宽度和采样宽度，这些宽度量化了不同逼近方法的最优性能。所得结果涵盖了参数范围$1 \leq q < p < \infty$和$p = q = 2$，在这些范围内可以观察到逼近速率方面的不同现象。