从 Gauss 到 Kolmogorov：椭球的局部复杂性度量

Gaussian 宽度是概率论、统计学和几何学中的一个基本量，已知它构成了估计与假设检验内在难度的基础。在本文中，我们展示了当将 Gaussian 宽度局部化到椭球的任一给定点时，它可以由一个类似局部化的集合的 Kolmogorov 宽度来控制。这一联系导出了椭球内最小二乘回归估计误差作为真实回归向量函数的显式刻画。误差衰减率随位置的不同而有显著变化：作为一个具体例子，在平滑度为 $\alpha$ 的 Sobolev 椭球中，我们展示了从对应于经典全局速率的 $(\sigma^2)^{\frac{2 \alpha}{2 \alpha + 1}}$ 到更快速率 $(\sigma^2)^{\frac{4 \alpha}{4 \alpha + 1}}$ 的变化。我们还展示了局部 Kolmogorov 宽度如何与局部度量熵相关联。