多参数椭圆问题的非线性压缩化简基准方法

参数依赖偏微分方程 (PDE) 的解近似的化简基准方法基于学习当参数变化时，解集合 - 即作为某函数空间中集合 $\mathcal{S}$ 的流形 - 的结构。这涉及到对该流形的调查，特别是理解其是否接近低维仿射空间。这导致Kolmogorov $N$-宽度的概念，即评估最佳维数为 $N$ 的向量空间对 $\mathcal{S}$ 的良好逼近程度。如果能够用一些选取良好的维数为 $N$ 的向量空间对 $\mathcal{S}$ 中的元素进行良好近似 -- 即 $N$ 不是太大 -- ，则可提出一种"化简"基准，导致一种类似Galerkin的方法，用于逼近 $\mathcal{S}$ 中的任何元素。在许多情况下，Kolmogorov $N$-宽度并不那么小，即使参数集位于小维度的空间中，导致流形具有小维度。就复杂度而言，这种流形小维度与Kolmogorov $N$-宽度大之间的差距可以解释为Kolmogorov $N$-宽度是线性的，而参数依赖性大多数情况下是非线性的。过去有许多贡献旨在调和这两个陈述，基于确定性方法或人工智能方法。我们在此进一步研究一种新范式，它在某种意义上融合了这两个方面：非线性压缩化简基准方法。我们关注一个简单的数参数问题，严格地说明与参数依赖PDE的解近似相关的复杂度直接与参数的数量有关，而非Kolmogorov $N$-宽度。