高维积分的机器学习求解器：通过带 Malliavin 权重的 SDE 高阶弱逼近格式以随机加权最小化和随机梯度下降求解 Kolmogorov 偏微分方程
数值分析
2021-02-12 v6 数值分析
计算金融
摘要
本文介绍了一种非常简单且快速的高维积分计算方法，用于求解高维 Kolmogorov 偏微分方程（PDEs）。这一新的基于机器学习的方法通过求解随机加权最小化并结合随机梯度下降获得，其灵感来自带 Malliavin 权重的随机微分方程（SDEs）的高阶弱逼近格式。随后，高维 Kolmogorov PDEs 的解或高维 SDEs 解的泛函期望被精确逼近，且不受维数灾难的影响。为展示我们方法的有效性，给出了使用二阶和三阶离散化格式的最高达 100 维的 PDEs 与 SDEs 数值例子。
引用
@article{arxiv.2012.12346,
title = {A machine learning solver for high-dimensional integrals: Solving Kolmogorov PDEs by stochastic weighted minimization and stochastic gradient descent through a high-order weak approximation scheme of SDEs with Malliavin weights},
author = {Riu Naito and Toshihiro Yamada},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.12346},
year = {2021}
}
备注
11 pages, 2 figures; some typos are corrected; numerical results are added