高维参数偏微分方程的多层压缩感知 Petrov-Galerkin 离散
数值分析
2017-12-19 v2
摘要
我们分析了近期引入的压缩感知 (CS) Petrov-Galerkin (PG) 方法 [H. Rauhut and Ch. Schwab: Compressive Sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations, Math. Comp. 304(2017) 661-700] 的一种新颖多层版本，用于求解多参数偏微分方程。我们提议使用基于嵌套有限维子空间层次的多层 PG 离散，并通过诸如加权 l1 最小化等 CS 方法，从依赖于层次的随机样本的高维参数空间中在每一层重建参数解。对于仿射参数线性算子方程，我们证明我们的方法允许以（几乎）最优收敛阶逼近参数解，该收敛阶由参数解的一般多项式混沌展开中系数序列的某些可和性性质以及物理变量中 PG 离散的收敛阶所指定。如同蒙特卡洛方法，PDE 解的参数样本计算是“令人尴尬地并行”的。与其他近期方法相反，并且正如 [A. Doostan and H. Owhadi: A non-adapted sparse approximation of PDEs with stochastic inputs. JCP 230(2011) 3015-3034] 中已指出的，所计算逼近的最优性不需要对最大 gpc 系数索引集的排序和结构的先验假设（例如“向下封闭”性质）。我们证明，在某种假设下，新算法的工作量与精度渐近等于对应于最细离散层上标称问题的一次 PG 求解，直至一个常数。
引用
@article{arxiv.1701.01671,
title = {Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs},
author = {Jean-Luc Bouchot and Holger Rauhut and Christoph Schwab},
journal= {arXiv preprint arXiv:1701.01671},
year = {2017}
}
备注
31 pages, 7 figures