利用神经网络与分层矩阵实现有限元模拟的自动稳定化
数值分析
2023-05-17 v1 机器学习
数值分析
摘要
具有最优检验函数的 Petrov-Galerkin 格式可对有限元模拟进行稳定化。特别地，给定离散试探空间，最优检验空间会导出依问题相关能量范数给出最佳逼近的数值格式。这一理想方法有两个缺陷：其一，我们需要显式知晓最优检验函数集合；其二，最优检验函数可能具有大支撑域，从而引出昂贵的稠密线性系统。然而，参数化偏微分方程族正是一类值得投入（离线）计算代价以获取稳定化线性系统的例子，该线性系统可在给定参数集的在线阶段被高效求解。因此，针对第一缺陷，我们显式计算（离线）一个将任意 PDE 参数映射到与该 PDE 参数相关的最优检验函数（于基展开中）系数矩阵的函数。接着，针对第二缺陷，我们利用低秩近似对最优检验函数系数（非方阵）矩阵进行分层压缩。为加速此过程，我们训练神经网络来学习压缩算法（对给定 PDE 参数集）的关键瓶颈。在线求解所得（压缩）Petrov-Galerkin 格式时，得益于压缩矩阵的低秩特性，我们采用 GMRES 迭代求解器以廉价的矩阵-向量乘法。实验表明完整在线过程与原（不稳定）Galerkin 方法一样快。换言之，我们利用分层矩阵与神经网络近乎免费地获得了稳定化。我们通过 2D Eriksson-Johnson 与 Hemholtz 模型问题说明了上述发现。
引用
@article{arxiv.2212.12695,
title = {Automatic stabilization of finite-element simulations using neural networks and hierarchical matrices},
author = {Tomasz Sluzalec and Mateusz Dobija and Anna Paszynska and Ignacio Muga and Maciej Paszynski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.12695},
year = {2023}
}
备注
28 pages, 16 figures, 4 tables, 6 algorithms