算子网络的 optimal Petrov-Galerkin 框架
数值分析
2025-03-07 v1 机器学习
数值分析
摘要
求解偏微分方程（PDE）的最优 Petrov-Galerkin 表述能够在指定范数下恢复有限维（试探）空间中的最佳逼近。然而，恢复该最优解的前提是能够构造与试探基函数相关联的最优权重函数。虽然对于简单的一维和二维问题已有显式构造，但对于一般多维问题，此类构造仍然难以获得。在本工作中，我们通过深度学习的视角重新审视最优 Petrov-Galerkin 表述。我们提出了一种名为 Petrov-Galerkin 变分模拟算子网络（PG-VarMiON）的算子网络框架，该框架模拟了底层 PDE 的最优 Petrov-Galerkin 弱形式。PG-VarMiON 以包含 PDE 数据及对应 PDE 解的标注数据集进行监督训练，训练损失依赖于最优范数的选择。PG-VarMiON 的特殊架构使其能够隐式地学习最优权重函数，从而赋予所提出的算子网络在训练集之外良好泛化的能力。我们推导了 PG-VarMiON 的逼近误差估计，阐明了各类误差源的贡献，特别是学习真实权重函数时的误差。针对对流扩散方程的若干数值结果展示了所提方法的有效性。通过将 Petrov-Galerkin 结构嵌入网络架构，PG-VarMiON 表现出更强的鲁棒性和更好的泛化能力，特别是在训练数据有限的情况下。
引用
@article{arxiv.2503.04024,
title = {An optimal Petrov-Galerkin framework for operator networks},
author = {Philip Charles and Deep Ray and Yue Yu and Joost Prins and Hugo Melchers and Michael R. A. Abdelmalik and Jeffrey Cochran and Assad A. Oberai and Thomas J. R. Hughes and Mats G. Larson},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.04024},
year = {2025}
}
备注
39 pages, 22 figures, 5 tables