变分拟态算子网络
数值分析
2023-08-31 v3 机器学习
数值分析
摘要
近年来，算子网络已成为逼近偏微分方程（PDEs）解的有前景的深度学习工具。这些网络将描述材料属性、强迫函数和边界数据的输入函数映射到 PDE 的解。本文描述了一种新的算子网络架构，其拟态由问题的近似变分或弱形式数值解所得到的形式。将这些思想应用于一般的椭圆型 PDE 得到了变分拟态算子网络（VarMiON）。与传统的深度算子网络（DeepONet）类似，VarMiON 也由一个构造输出基函数的子网络和一个构造这些基函数系数的子网络组成。然而，与 DeepONet 不同，VarMiON 中这些子网络的架构是被精确确定的。对 VarMiON 解中误差的分析表明，它包含来自训练数据误差、训练误差、采样输入和输出函数时的求积误差，以及衡量测试输入函数与训练数据集中最近函数之间距离的“覆盖误差”的贡献。它还依赖于精确解算子及其 VarMiON 近似的稳定性常数。将 VarMiON 应用于一个标准椭圆型 PDE 和一个非线性 PDE 表明，在 approximately 相同数量的网络参数下，平均而言 VarMiON 比标准 DeepONet 和最近提出的多输入算子网络（MIONet）产生更小的误差。此外，其性能对输入函数的变化、用于采样输入和输出函数的技术、用于构造基函数的技术以及输入函数数量的变化更具鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2209.12871,
title = {Variationally Mimetic Operator Networks},
author = {Dhruv Patel and Deep Ray and Michael R. A. Abdelmalik and Thomas J. R. Hughes and Assad A. Oberai},
journal= {arXiv preprint arXiv:2209.12871},
year = {2023}
}
备注
49 pages, 18 figures, 1 Appendix