用于一维完全非线性二阶椭圆与抛物型方程的混合内惩罚间断 Galerkin 方法

本文致力于开发用于求解一维完全非线性二阶椭圆与抛物型偏微分方程 (PDEs) 的高精度、高效率数值方法。文中提出了一个通用框架，用于构造高阶内惩罚间断 Galerkin (IP-DG) 方法以逼近这些完全非线性 PDEs 的粘性解。为了捕捉解 $u$ 的二阶导数 $u_{xx}$ 的不连续性，引入了三个独立函数 $p_1, p_2$ 和 $p_3$，利用各种单侧极限来表示数值导数。所提出的 DG 框架基于底层 PDE 的非标准混合格式，将非线性问题嵌入到一个主要为线性的方程组中，其中非线性部分经过修正以包含二阶导数 $u_{xx}$ 的多个值。该框架扩展了作者在文献 [9] 中开发的配套有限差分框架，允许使用高阶多项式和非均匀网格来逼近完全非线性 PDEs。除了非标准混合格式设置外，另一个主要思想是用一个数值算子替换完全非线性微分算子，该数值算子与微分算子相容并满足特定的单调性（称为 g-单调性）性质。为确保这种 g-单调性，构造的关键在于引入数值矩，其在所提出的 DG 框架中起着至关重要的作用。本文还展示并分析了若干数值测试问题的结果，用以评估所提出 DG 方法的精度和效率。