一种针对大波数不定常时谐 Maxwell 方程组的绝对稳定间断 Galerkin 方法

本文开发并分析了一种使用分段线性多项式的内惩罚间断 Galerkin (IPDG) 方法，用于求解三维空间中具有阻抗边界条件的不定常时谐 Maxwell 方程组。所提出的 IPDG 方法的主要创新点包括：首先，该方法不仅惩罚电场切向分量在单元面上的跳跃，还惩罚其涡度场切向分量的跳跃；其次，惩罚参数取为具有负虚部的复数。对于该微分问题，我们证明了与 Maxwell 问题相关的双线性形式在星形区域上满足广义弱稳定性（即 inf-sup 条件）。这种广义弱稳定性可直接推导出 Maxwell 问题解的显式波数先验估计，这在 IPDG 方法的误差分析中起着重要作用。对于所提出的 IPDG 方法，我们证明了离散双线性形式对所有正网格尺寸 $h$ 和波数 $k$ 以及包括非星形区域在内的一般区域均满足强制性。进而，强制性无需施加任何网格约束即可轻松得出离散问题的适定性和稳定性估计（即先验估计）。基于这些离散稳定性估计，通过借鉴 Fung 和 Wu (2009) 的非标准误差估计技术，我们推导出了 IPDG 方法在所有网格参数区域（包括前渐近区域，即 $k^2 h\gtrsim 1$）下的能量范数和 $L^2$-范数误差估计。此外，还给出了数值实验以检验理论结果，并数值考察了误差界中关于 $k$ 的污染效应。