大波数亥姆霍兹方程的间断伽辽金方法

本文针对二维和三维空间中带一阶吸收边界条件的亥姆霍兹方程，开发并分析了一些使用分片线性多项式的内部惩罚间断伽辽金方法。证明了所提出的间断伽辽金方法在没有任何网格约束的情况下是稳定的（因此是适定的）。对于每个固定波数$k$，在没有任何网格约束的情况下，推导了在破碎$H^1$范数下的最优阶（关于$h$）误差估计和在$L^2$范数下的次优阶误差估计。当网格尺寸$h$限制在预渐近区域（即$k^2 h \gtrsim 1$）时，后一估计改进为最优阶。还给出了数值实验以衡量理论结果，并数值检验误差界中的污染效应（关于$k$）。所提出的内部惩罚间断伽辽金方法的新颖之处包括：第一，该方法不仅惩罚函数值在单元边上的跳跃，还惩罚法向导数和切向导数的跳跃；第二，惩罚参数取为具有正虚部的复数，因此本质上和实际上对惩罚参数没有施加任何约束。由于亥姆霍兹问题是一个非厄米且不定的线性问题，正如预期，整个分析的关键和最困难部分是建立数值解的稳定性估计（即先验估计）。为此，我们分析的关键是建立并利用拉普拉斯算子的Rellich恒等式的局部版本，并模仿\cite{cummings00,Cummings_Feng06,hetmaniuk07}中给出的PDE解的稳定性分析。