求解高波数亥姆霍兹方程的可杂交不连续伽辽金方法（第一部分：线性情形）

本文讨论了带阻抗边界条件的高频亥姆霍兹方程线性可杂交不连续伽辽金方法（HDG）的若干方面。首先，推导了HDG对精确解$u$及其负梯度$\mathbf{q}=-\nabla u$的逼近误差估计，显式依赖于波数$k$。在$k^3h^2$足够小且惩罚参数$\tau\eqsim k$（其中$h$为网格尺寸）的条件下，证明了$k\Vert u - u_h \Vert_{L^2(\Omega)} + \Vert \mathbf{q} -\mathbf{q}_h \Vert_{L^2(\Omega)} = O(k^2h^2+k^4h^3)$。注意$\mathbf{q}_h$的收敛阶是满阶且污染误差为$O(k^4h^3)$，改进了已有结果。其次，利用椭圆问题HDG方法的标准后处理过程，得到分片二次函数$u_h^*$使得$k\Vert u-u_h^*\Vert_{L^2(\Omega)}=O(k^3h^3+k^4h^3)$。注意该后处理仅改进插值误差（从$O(k^2h^2)$到$O(k^3h^3)$）而污染误差$O(k^4h^3)$不变。第三，频散分析和大量数值试验表明，通过选取适当惩罚参数，在一维情形可完全消除污染效应，在二维情形可大幅减弱。高波数亥姆霍兹方程高阶HDG方法的预渐近误差分析在第二部分研究。