大波数亥姆霍兹方程的$hp$-间断伽辽金方法

本文针对二维和三维亥姆霍兹方程，发展了一些内罚$hp$-间断伽辽金($hp$-DG)方法。所提出的$hp$-DG方法使用一个不仅依赖于网格还依赖于多项式次数的半双线性形式来定义。此外，该半双线性形式包含惩罚项，这些项不仅惩罚函数值在单元边上的跳跃，还惩罚一阶切向导数的跳跃以及直到$p$阶的所有法向导数的跳跃。进一步地，为了确保稳定性，惩罚参数被取为具有正虚部的复数。证明了所提出的$hp$-间断伽辽金方法是绝对稳定的（因此是适定的）。对于每个固定波数$k$，在无任何网格约束的情况下，推导出了在分片$H^1$范数和$L^2$范数下的次优阶误差估计。通过利用这些稳定性和误差估计，并采用稳定性-误差迭代过程，在网格条件$k^3h^2p^{-1}\le C_0$下，误差估计和稳定性估计被改进为最优阶。为了克服亥姆霍兹问题在数值解稳定性分析中由强不定性带来的困难，我们稳定性分析的主要思想是利用Rellich恒等式（针对拉普拉斯算子）的局部版本，并模仿文献\cite{cummings00,Cummings_Feng06,hetmaniuk07}中给出的偏微分方程解的稳定性分析，这使我们能够推导出数值解的稳定性估计和误差界，并显式地依赖于网格尺寸$h$、多项式次数$p$、波数$k$以及所有惩罚参数。