大波数亥姆霍兹方程的连续内罚有限元方法

本文针对二维和三维中具有一阶吸收边界条件的亥姆霍兹方程，提出并分析了一些使用分片线性多项式的连续内罚有限元方法。所提方法的新颖之处在于使用具有正虚部的复罚参数。证明了如果罚参数是纯虚数$\i\ga$且$0<\ga\le C$，则所提出的连续内罚有限元方法在没有任何网格约束的情况下是稳定的（因此是适定的）。此外，该方法满足误差估计：当$k^3h^2\le C_0$时，在$H^1$范数下为$C_1kh+C_2k^3h^2$；当$k^3h^2> C_0$且$kh$有界时，为$C_1kh+\frac{C_2}{\ga}$，其中$k$是波数，$h$是网格尺寸，$C$是与$k$、$h$和$\ga$无关的正常数。还推导了最优阶$L^2$误差估计。如果罚参数是具有正虚部的复数，该分析同样适用。通过取$\ga\to 0+$，上述估计在条件$k^3h^2\le C_0$下扩展到线性有限元方法。提供了数值结果以验证理论发现，表明可以通过调节罚参数来大幅减少污染误差。