Helmholtz 方程 CIP-FEM 的频散分析

在数值求解 Helmholtz 方程时，数值解的精度随波数 $k$ 增大而恶化，称为“污染效应”，其直接源于精确解与数值解之间的相位差，由数值频散引起。本文提出连续内罚有限元方法（CIP-FEM）的频散分析，并推导了张量积（笛卡尔）网格上 $p^{\rm th}$ 阶 CIP-FEM 惩罚参数的显式公式，使得相位差从 $\mathcal{O}\big(k(kh)^{2p}\big)$ 降至 $\mathcal{O}\big(k(kh)^{2p+2}\big)$。大量数值测试表明，采用相同惩罚参数时，CIP-FE 解的污染误差在 $kh$ 上也降低了两个数量级。