Helmholtz 边界元方法是否受污染效应影响？

在 $d$ 维空间中，精确逼近一个以频率 $\lesssim k$ 振荡的任意函数需要 $\sim k^d$ 个自由度。若随着 $k\to\infty$，维持精度所需的总自由度数增长快于这一自然阈值（即对于基于区域的公式，如有限元方法，快于 $k^d$；对于基于边界的公式，如边界元方法，快于 $k^{d-1}$），则求解 Helmholtz 方程（波数为 $k$，维度为 $d$）的数值方法会受到污染效应的影响。众所周知，有限元方法 (FEM) 的 $h$-版本（通过减小网格尺寸 $h$ 并保持多项式阶数 $p$ 固定来提高精度）受污染效应影响，过去约 30 年的研究已对维持精度所需自由度数随 $k$ 的增长速度形成了近乎完备的严格理解。与 $h$-FEM 相反，至少从经验上看，边界元方法 (BEM) 的 $h$-版本并$\textit{不}$受污染效应影响（回顾边界元方法中，散射问题被重新表述为散射体边界上的积分方程，然后使用有限元类型的逼近空间对该积分方程进行数值求解）。然而，当前文献中关于 $h$-BEM 维持精度所需自由度数随 $k$ 增长速度的最佳结果，尚不足以证明这一点。在本文中，我们证明：当障碍物为非 trapping（即不 trapping 几何光学射线）时，应用于求解 Helmholtz 外 Dirichlet 问题的标准第二类边界积分方程的 Galerkin 方法的 $h$-版本不受污染效应影响。