强制形式能否带来亥姆霍兹方程的快速精确求解？

在 [Moiola, Spence, SIAM Rev. 2014] 中引入了一种新的亥姆霍兹方程强制形式。本文研究该形式的 $h$ 版本 Galerkin 离散化，以及所得线性系统的迭代求解。我们发现，就污染效应而言（即为了维持精度当 $k\to\infty$ 时，$h$ 必须以与标准形式相同的速率随 $k$ 减小），该强制形式的表现与标准形式相似。我们证明了当用给定的对称正定矩阵作为预条件时，求解新形式线性系统所需 GMRES 迭代次数的 $k$ 显式界。尽管迭代次数随 $k$ 增长，但这是针对亥姆霍兹方程预条件形式（预条件子为对称正定矩阵）的 GMRES 迭代次数的首个此类严格界。