带吸收 Helmholtz 方程的具有局部阻抗条件的区域分解

我们考虑一类具有吸收且波数 $k$ 递增的 Helmholtz 问题的一层加性 Schwarz 预条件子。这些问题使用 Galerkin 方法离散，在直径 $h = h(k)$ 的网格上采用任意（固定）阶节点协调有限元，所选网格在 $k$ 增大时保持精度。预条件子的作用需要在直径 $H$、重叠 $\delta\leq H$ 的重叠子域上求解独立的（并行）子问题（带阻抗边界条件）。这些子问题的解通过使用基于单位分解定义的延拓/限制算子联结在一起。在一个模型内部阻抗问题的数值实验（取 $\delta \sim H$）中，我们观察到随着 $k$ 增大，GMRES 收敛具有鲁棒性（即与 $k$ 无关）。这提供了一种高度并行、对 $k$ 鲁棒的一层区域分解方法。我们通过研究应用于一系列吸收问题 $k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$（吸收参数 $\varepsilon$）的预条件子来提供支撑理论。在 Helmholtz “能量”内积下，利用 Helmholtz 边值问题的基础理论，我们证明了预条件矩阵范数的与 $k$ 无关的上界，对所有 $\vert \varepsilon\vert \lesssim k^2$ 成立。我们还证明了当 $\varepsilon/k$ 为常数或以任意缓慢于 $k$ 的速度增长时，预条件矩阵值域到原点的距离存在严格为正的下界。这些结果意味着该预条件子对相应吸收问题在 $k$ 增大时的鲁棒性，并为观测到的纯 Helmholtz 问题预条件子的鲁棒性提供了理论支持。