用于不定 Helmholtz 问题的具有 $H_k$-GenEO 粗空间的 Schwarz 预条件子

GenEO（“重叠上的广义特征值问题”）是谱粗空间族中的一种方法，它可以有效地依赖局部特征值求解，为椭圆型偏微分方程构建稳健的并行区域分解预条件子。当在共轭梯度法中用作预条件子时，该方法在正定情况下极为高效，产生的迭代次数完全独立于子域数量和异质性。在先前的工作中，该理论被扩展到对流-扩散-反应问题，这类问题可能是非自伴且不定的，其离散化使用预条件 GMRES 求解。此处定义的 GenEO 粗空间使用了基于自伴正定子问题的广义特征值问题。由此产生的方法称为 $\Delta$-GenEO，对算子中扩散项系数的变化具有稳健性，且对其他系数的变化仅有极弱的依赖。然而，随着算子非自伴性和不定性的增加，迭代次数估计会变差，这对于高频 Helmholtz 问题常常发生。在这项工作中，我们将通过引入一个名为 $H_k$-GenEO 的新版本来改进这一方面，该版本直接使用基于不定算子的广义特征值问题，从而得到一种对波数增加具有稳健性的方法。我们提供了理论估计，展示了粗空间大小对波数的依赖关系。