基于边缘多尺度空间的 Helmholtz 问题大波数混合 Schwarz 预条件子

本文发展了一种新型混合 Schwarz 方法，称为基于边缘多尺度空间的混合 Schwarz (EMs-HS)，用于求解大波数下的 Helmholtz 问题。该问题使用 $H^1$-符合节点有限元方法进行离散化，网格大小 $h$ 小于 $k^{-1}$，以确保离散误差随波数 $k$ 的增大而保持有界。EMs-HS 由一个一级 Schwarz 预条件子 (RAS-imp) 和一个粗网格求解器以乘法方式组合而成。RAS-imp 预条件子在具有阻抗边界条件的重叠子域上并行求解局部问题，并通过分区一致性将局部解组合在一起。粗网格空间是参考文献 [13] 中提出的边缘多尺度空间。关键思想是首先通过局部气泡部分和局部 Helmholtz 调和扩展部分对每个子域的解进行局部分解，然后通过分区一致性导出全局分解。这使得解可以表示为全局气泡部分和全局 Helmholtz 调和扩展部分的和。我们通过严格分析粗网格空间对全局 Helmholtz 调和扩展部分以及伴随问题解的逼近性质，证明 EMs-HS 预条件子对大波数具有收敛的固定点迭代。值得注意的是，理论收敛分析在两个极端情况均有效：一种是子域之间最小重叠大小为 $h$ 级，另一种是粗网格空间尺寸为最佳尺寸（即 $k^d$ 级，其中 $d$ 为空间维数）。我们提供了大量数值结果，说明理论结果的锐度，并在具有挑战性的异构模型上展示了该方法。