基于多尺度谱广义有限元方法的两层受限加法 Schwarz 前缀器

我们提出并分析了一种用于异质 Helmholtz 问题的两层受限加法 Schwarz (RAS) 前缀器，基于 C. Ma、C. Alber 和 R. Scheichl 在 SIAM. J. Numer. Anal. 中提出的多尺度谱广义有限元方法 (MS-GFEM)。该前缀器使用带阻抗边界条件的局部求解，以及基于从局部特征问题构造的 MS-GFEM 近似空间的全局粗略求解。它首先将 MS-GFEM 表述为 Richardson 迭代方法，无需使用过采样技术，即可简化为 Q. Hu 和 Z. Li 在 arXiv 2402.06905 中提出并分析的前缀器。我们证明了 Richardson 迭代方法以及用于 GMRES 的前缀器在某些合理条件下以 $\Lambda$ 的收敛率收敛，其中 $\Lambda$ 表示底层 MS-GFEM 近似误差。值得注意的是，GMRES 的收敛证明不依赖于 `Elman 理论'。此外，由于过采样导致的指数收敛性，确保仅需少数迭代即可实现小粗略空间下的收敛。更重要的是，收敛率 $\Lambda$ 不仅独立于网格大小 $h$ 和子域数量，还随波数 $k$ 的增大而衰减。特别地，在常系数情况下，当 $h\sim k^{-1-\gamma}$ 且 $\gamma\in (0,1]$ 时，有 $\Lambda \sim k^{-1+\frac{\gamma}{2}}$。我们进行了大量数值实验以说明该前缀器的性能，包括 2D 和 3D 基准地球物理测试，以及源于实际应用的高置信系数示例。