离散 Helmholtz 方程的可解性
数值分析
2022-03-01 v2 数值分析
摘要
我们研究使用协调 Galerkin 有限元方法离散化的带 Robin 边界条件的 Helmholtz 问题的唯一可解性。离散方程适定性通常通过对连续 Helmholtz 问题施加紧扰动来研究,使得“足够丰富”的离散化导致连续问题的“足够小”扰动,并通过 Fredholm 抉择定理继承适定性。然而,定性概念“足够丰富”涉及未知常数且仅为渐近性质。本文聚焦于完全离散方法,通过在离散层面上模仿证明连续问题适定性的工具。由此导出一个可计算准则,可在不依赖渐近扰动论证的情况下证明离散适定性。利用这一新方法,我们获得 a) Helmholtz 问题 -FEM 的新稳定性结果,b) 使离散化变得不稳定(刚度矩阵奇异)的网格示例,以及 c) 一个简单的检验算法 MOTZ “marching-of-the-zeros”,它以后验方式保证给定网格通过稳定 Helmholtz 离散化认证。
引用
@article{arxiv.2105.02273,
title = {Solvability of Discrete Helmholtz Equations},
author = {Maximilian Bernkopf and Stefan Sauter and Céline Torres and Alexander Veit},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.02273},
year = {2022}
}