有限元外微积分：从霍奇理论到数值稳定性

本文报道了两股研究潮流的交汇，一股源于数值分析和科学计算领域，另一股源于拓扑学和几何学。在本文中，我们考虑与微分复形相关的偏微分方程的数值离散化，因此德拉姆上同调和霍奇理论是连续问题的关键工具。在简要介绍有限元方法（我们所考虑的离散化方法）之后，我们发展了一个抽象的希尔伯特空间框架来分析稳定性和收敛性。在该框架中，微分复形由一个希尔伯特空间复形表示，稳定性通过将霍奇理论结构从连续层次转移到离散层次而获得。我们证明，如果有限元空间满足两个假设：它们形成一个子复形，并且存在一个有界上链投影从全复形到子复形，则可以实现稳定的离散化。接下来，我们考虑抽象理论中最典型的例子，其中希尔伯特复形是欧几里得空间中一个区域的德拉姆复形。我们使用科祖尔复形构造了两族有限元微分形式，展示了它们可以以多种方式排列在德拉姆复形的子复形中，并为每个子复形构造了一个有界上链投影。因此，抽象理论适用于给出霍奇拉普拉斯算子有限元近似的稳定性和收敛性。本文还考虑了其他应用，特别是弹性力学方程。文中包含了背景材料，以使不同背景的读者都能理解本文内容。