迈向流形上的有限元外微积分：交换投影、几何变分罪与逼近误差

我们综述了流形与曲面上有限元外微积分的近期进展，并置于流形上向量值偏微分方程误差分析的综合形式体系内。我们的主要焦点是流形上一致有界的交换投影：这些投影从 Sobolev de Rham 复形映射到有限元 de Rham 复形，与微分算子交换，并在 Lebesgue 范数下满足一致界。它们为流形上大量内蕴有限元方法的 Hilbert 复形 Galerkin 理论提供了可能。然而，这些内蕴有限元方法通常不可计算，因而主要具有理论意义。这引出我们的第二点：估计转向可计算近似问题所带来的几何变分罪。最后，我们的第三点讨论如何依据网格尺寸估计内蕴有限元方法的逼近误差。若解不连续，则通过修正的 Clément 或 Scott-Zhang 插值子实现此类估计，它们促成了破碎的 Bramble–Hilbert 引理。