分裂一维波动方程的保结构分裂有限元离散

我们引入了一种适用于协变量分裂方程的全新有限元（FE）离散框架。通过引入与原始微分形式（DF）配对的附加微分形式，可以将方程分裂为拓扑动量方程与连续性方程，以及应用 Hodge 星算子的度量相关闭合方程。我们的离散框架保守了这一几何结构，并为所有 DF 提供了合适的 FE 空间，使得微分算子在强形式下成立。我们引入了分裂一维波动方程的最低阶离散，其中离散动量方程和连续性方程通过向分段常数 FE 空间的平凡投影得到，省略了分部积分。通过非平凡 Galerkin 投影（GP）逼近 Hodge 星算子，两个离散度量方程通过投影到分段常数（GP0）或分段线性（GP1）空间得到。我们的框架给出了三种行为显著不同的格式。两次使用 GP1 的分裂格式是不稳定的，并与用分段线性空间（P1）逼近两个变量的 P1-P1 FE 格式具有相同的色散关系。混合使用 GP1 和 GP0 的分裂格式，与使用分段线性和分段常数（P0）空间的稳定 P1-P0 FE 格式具有相同的色散关系。然而，这些分裂格式对两个感兴趣的量均表现出二阶收敛。对于两次使用 GP0 的分裂格式，我们尚不知晓有相应的标准表述可供比较。尽管它未能提供令人满意的色散关系近似（因为短波传播得太快），但这一新格式的发现展示了我们的离散框架作为工具箱的潜力，可通过 FE 空间的新组合来研究和发现 FE 格式。