高频下 Helmholtz $h$-FEM 的尖锐相对误差界
数值分析
2021-11-05 v4 数值分析
摘要
对于应用于 Helmholtz 方程的 -有限元方法（-FEM），自 80 年代中期以来人们一直在研究网格尺寸 必须随频率 以多快速度减小以在 增大时保持精度的问题。然而，除了一维情形外，文献中仍不存在关于 FEM 解相对误差（实际应用中最常用的 FEM 误差度量）的任何 -显式界。本文的主要结果是尖锐结论：对于最低阶协调 FEM（多项式次数 ），条件“ 充分小”足以使 2 或 3 维中平面波被非捕获障碍物及/或非捕获非均匀介质散射时 FEM 解的相对误差可控地小（与 无关）。我们还证明了应用于非捕获障碍物散射的任意固定阶方法的 FEM 解相对误差界，但这些界对 并非尖锐。我们证明中的一个关键要素是描述平面波散射问题解的振荡行为的一个结果，我们利用半经典缺陷测度证明了它。
引用
@article{arxiv.1911.11093,
title = {A sharp relative-error bound for the Helmholtz $h$-FEM at high frequency},
author = {David Lafontaine and Euan A. Spence and Jared Wunsch},
journal= {arXiv preprint arXiv:1911.11093},
year = {2021}
}