基于Helmholtz方程不确定性定量化的准蒙特卡罗方法
数值分析
2025-11-04 v2 数值分析
摘要
我们分析并实现了一种用于Helmholtz方程不确定性定量化（UQ）前向问题的准蒙特卡罗（QMC）有限元方法（FEM），该方程的随机系数既出现在二阶项也出现在零阶项中，从而建模随机介质中的波 Scattering。问题在散射异质介质后以及（可能）存在的有限不可渗透散射体的无限传播域上进行建模。空间离散方案包括通过完美匹配层（PML）技术将域截断为有限域，然后进行有限元近似。特殊情况为：平面波在被随机异质介质包围的有限声软不可渗透障碍物上发生散射，或更简单地仅考虑随机介质的散射。假设随机系数具有仿射可分展开形式，包含无限多个独立均匀分布且有界的随机参数。作为UQ的感兴趣量，我们考虑解的一般线性函数的期望，其中特例为散射场的远场图样。数值方法包括：（a）参数空间中的维数截断；（b）应用改进的QMC方法计算期望值；（c）通过PML截断和有限元近似计算PDE解的样本。我们的误差估计明确给出s（维数截断参数）、N（QMC点数）、h（有限元网格大小）以及最重要的k（Helmholtz波数）的依赖。该方法相对于PML截断半径也具有指数精度。给出了说明性数值实验。
引用
@article{arxiv.2502.12451,
title = {Quasi-Monte Carlo methods for uncertainty quantification of wave propagation and scattering problems modelled by the Helmholtz equation},
author = {Ivan G. Graham and Frances Y. Kuo and Dirk Nuyens and Ian H. Sloan and Euan A. Spence},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.12451},
year = {2025}
}