通过预积分和拟蒙特卡洛方法估计具有随机输入的椭圆型偏微分方程的密度

在本文中，我们应用带有初始预积分步骤的拟蒙特卡洛（QMC）方法来估计不确定性量化（UQ）中的累积分布函数和概率密度函数。这些分布和密度函数对应于一个感兴趣量，该量涉及具有对数正态分布系数和正态分布源项的椭圆型偏微分方程（PDE）的解。此前已有大量关于使用 QMC 计算 UQ 中期望值的工作，事实证明其在解决各类 PDE 问题方面非常成功。然而，将 QMC 用于应用于 UQ 问题的密度估计将在本文中首次得到探讨。由于分布和密度的积分公式中存在不连续性，密度估计比计算期望值面临更大的挑战。我们的策略是通过积分掉一个精心选择的随机参数来利用预积分消除不连续性，以便使用 QMC 近似剩余积分。首先，我们建立了 PDE 感兴趣量的正则性结果，这是预积分平滑生效所必需的。随后，我们证明了可以为对应于分布和密度的被积函数构造一个 $N$ 点格点规则（lattice rule），使得预积分后 QMC 误差为 $\mathcal{O}(N^{-1+\epsilon})$ 阶，其中 $\epsilon>0$ 为任意小量。这与计算感兴趣量期望值所达到的速率相同。数值结果证实了我们的理论。