基于正交级数密度估计划分随机过程时间演化的量子线路

量子蒙特卡洛积分(QMCI)是一种用于估计随机变量期望的量子算法,在金融衍生品定价等诸多工业领域有应用。当将 QMCI 应用于关于随机过程 $X(t)$ 的期望时(例如衍生品定价中的标的资产价格),用于生成编码 $X(t)$ 概率密度的量子态的量子线路 $U_{X(t)}$ 可能具有很大的深度。在将时间离散为 $N$ 个点的情况下,使用 $X(t)$ 转移概率的状态准备预言机,$X(t)$ 的状态准备会导致 $O(N)$ 的深度,这在 $N$ 较大时可能存在问题。此外,如果我们要估计 $N$ 个时间点上关于 $X(t)$ 的期望,总查询复杂度在 $N$ 上的标度为 $O(N^2)$,这差于经典蒙特卡洛方法中 $O(N)$ 的复杂度。为了改进这一点,本文提出一种基于正交级数密度估计来划分 $U_{X(t)}$ 的方法。该方法通过正交级数逼近 $N$ 个时间点上 $X(t)$ 的密度,其中系数通过 QMCI 估计为正交函数的期望。通过使用这些逼近密度,我们可以在不需要深线路的情况下,通过 QMCI 估计关于 $X(t)$ 的期望。我们的误差和复杂度分析表明,为了获得 $N$ 个时间点上的逼近密度,我们的方法实现的线路深度和总查询复杂度标度分别为 $O(\sqrt{N})$ 和 $O(N^{3/2})$。