非对数凹和重尾分布 Gibbs 期望的量子算法

我们为经典 Gibbs 期望建立了一个系统的无偏量子采样与估计协议框架。该框架推广了现有的配分函数估计方法，并在各领域具有更广泛的应用。我们考虑在放宽强凸性等假设（如耗散性）条件下，对一大类非对数凹分布，特别是重尾分布进行采样与估计。我们开发了量子加速多层蒙特卡洛（QA-MLMC）的无偏扩展，以消除离散化和时间截断带来的所有偏差，同时引入测度变换方法和通过 Radon-Nikodym 导数实现的 Girsanov 定理。因此，我们的方法在误差 ε 内的量子复杂度为 O~(ε⁻¹)，而经典 MLMC 需要 O~(ε⁻²)，且现有量子算法在更强假设下产生有偏估计器。此外，我们的统一框架能够在变换后对某些重尾分布进行无偏量子采样与估计。我们提供了该方法在统计学、机器学习和金融学中的若干具体应用，朝着随机过程量子加速的更实际场景迈进。