用于 Gibbs 采样器的无偏马尔可夫链拟蒙特卡洛方法

在统计分析中，蒙特卡洛 (MC) 是一种经典的数值积分方法。当遇到具有挑战性的采样问题时，马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 是常用的方法。然而，MCMC 估计量在固定迭代次数后是有偏的。无偏 MCMC 是通过耦合技术实现的一项进展，解决了 MCMC 中的这一偏差问题，使我们能够并行运行许多短链。拟蒙特卡洛 (QMC) 以其高阶收敛性而闻名，是 MC 的一种替代方案。通过将 QMC 的思想融入 MCMC，马尔可夫链拟蒙特卡洛 (MCQMC) 有效降低了 MCMC 的方差，特别是在 Gibbs 采样器中。本文提出了一种将无偏 MCMC 与 MCQMC 相结合的新方法，称为无偏 MCQMC 方法。该方法在显著提高收敛速率的同时提供了无偏估计量。数值实验表明，对于 Gibbs 采样，样本量为 $N$ 的无偏 MCQMC 产生的均方根误差 (RMSE) 速率优于无偏 MCMC 的 $O(N^{-1/2})$ 速率，在低维问题中趋近于 $O(N^{-1})$ 的 RMSE 速率。令人惊讶的是，在一个具有挑战性的 1049 维 P\'olya Gamma Gibbs 采样器问题中，对于中等样本量，RMSE 仍可降低数倍。在并行化设置下，即使运行短链，无偏 MCQMC 的表现也优于无偏 MCMC。