求解光滑非均匀介质中含点源奇异性的高频亥姆霍兹方程的混合方法

我们提出一种混合方法，用于求解光滑非均匀介质中含点源项的高频亥姆霍兹方程。该方法基于射线有限元法(ray-FEM)，其原始版本无法精确处理靠近点源的奇异性。这一缺陷通过结合ray-FEM与靠近点源的高阶渐近展开式得到解决：前者用于精确计算解的平滑远场，后者用于恰当捕捉近场中解的奇异性。该方法要求每个波长固定数量的网格点，以渐近收敛率 $\mathcal{O}(\omega^{-1/2})$ 精确表示波场，其中 $\omega$ 为亥姆霍兹方程中的频率参数。此外，使用快速扫描型预条件子来求解所得的线性系统。我们给出二维数值算例，展示了随着频率增加方法的精度与效率。特别地，我们提供了收敛率的数值证据，并经验性地表明总体复杂度为 $\mathcal{O}(\omega^2)$（至多相差一个多对数因子）。