TensorGalerkin：用于求解和优化 PDE 的高效高性能 Galerkin 装配算法
机器学习
2026-05-26 v3
摘要
我们提出了一个统一的算法框架，用于数值求解、受约束优化和基于变分结构的 PDE 物理信息学习。该框架基于 underlying variational forms 的 Galerkin 离散化，其高效性源于 TensorGalerkin 框架中高度优化且符合 GPU 要求的线性系统装配（刚度矩阵和载荷向量）。TensorGalerkin 通过在 Python 级别的 Map 阶段对元素级操作进行张量化，然后进行全局归约，利用稀疏矩阵乘法在网格诱导稀疏图上进行消息传递。Map 和 Reduce 阶段在 PyTorch 的 autograd 中共设计，以便装配图中的节点数与元素数量和局部自由度的规模无关。我们通过在 downstream 部署 TensorGalerkin 验证了该 -图属性，即：i) 一种高度高效的数值 PDE 求解器，ii) 用于 PDE 约束优化的端到端可微框架，以及 iii) 用于 PDE 的物理信息算子学习算法。在多个基准测试中，包括 2D 和 3D 椭圆型、抛物型和双曲型 PDE 的非结构化网格上，我们展示了该框架在所有目标 downstream 应用中均提供了显著的计算效率和精度提升。
引用
@article{arxiv.2602.05052,
title = {Learning, Solving and Optimizing PDEs with TensorGalerkin: an efficient high-performance Galerkin assembly algorithm},
author = {Shizheng Wen and Mingyuan Chi and Tianwei Yu and Ben Moseley and Mike Yan Michelis and Pu Ren and Hao Sun and Siddhartha Mishra},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.05052},
year = {2026}
}