非结构四面体网格上连续与间断Galerkin离散化的无矩阵求值策略

本研究提出了改进非结构四面体网格上连续与间断Galerkin空间离散化无矩阵求值节点级性能的新策略。在我们的方法中，通用有限元算子的底层积分通过使用列表化的稠密局部形状函数矩阵进行逐单元数值求积来计算，在低到中等阶多项式次数下实现了高吞吐量。通过在逐单元插值中采用稠密矩阵-矩阵乘积而非矩阵-向量乘积，该方法达到了峰值性能的60%以上。优化策略利用显式数据并行性来提高计算效率，并辅以改善数据局部性的分层网格重排序算法。在多项式次数为3时，无矩阵实现比基于全局稀疏矩阵的方法实现了高达6倍的加速。通过对Poisson和Navier--Stokes方程的数值实验证明了该方法的有效性。Poisson算子采用混合多重网格方案进行预处理，该方案在可能的情况下结合了辅助连续有限元空间、多项式粗化和几何粗化，同时在粗网格上采用代数多重网格。在预处理器内部，该实现在无矩阵和基于矩阵的策略之间进行转换以实现最佳效率。最后，我们分析了Poisson和Helmholtz算子的强扩展行为，展示了该方法解决现实世界大规模问题的潜力。